Question

【題目】已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前 項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng)．

（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（）設(shè)，數(shù)列滿(mǎn)足，．求數(shù)列的前項(xiàng)和．

（）在（）的條件下，設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，對(duì)于任意的正整數(shù)，，恒有成立，且（為常數(shù)，），試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，用數(shù)列的前n項(xiàng)和求是列的通項(xiàng)公式，注意對(duì)于第一項(xiàng)的驗(yàn)證，又根據(jù)等比中項(xiàng)解決問(wèn)題，這一道題目比較困難，第一問(wèn)考查的內(nèi)容較多．
（2）構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列時(shí)按照一般的方式來(lái)整理，整理后發(fā)現(xiàn)結(jié)果比較簡(jiǎn)單，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的和．
（3）本題證明數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，應(yīng)用等差數(shù)列的定義來(lái)證明，只要數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng)之差是一個(gè)常數(shù)，問(wèn)題得證，證明是一個(gè)常數(shù)的過(guò)程是一個(gè)數(shù)列和函數(shù)綜合的過(guò)程，用到所給的函數(shù)的性質(zhì)．

詳解：

（）依題意得，故．

又，即，

所以，當(dāng)時(shí)，．

又也適合上式，

故．

（）因?yàn)?/span>，

，因此．

由于，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

所以，所以．

所以．

（）方法一：

，

則．

所以．

因?yàn)橐阎?/span>為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．

方法二：

因?yàn)?/span>成立，且，

所以，

，

，

，

所以．

所以數(shù)列是等差數(shù)列．