Question

【題目】已知為正整數(shù)，

（1）證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）對(duì)于，已知，求證：，；

（3）求出滿足等式的所有正整數(shù).

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析(3)2,3.

【解析】

（1）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；

（2）對(duì)于,已知,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及放縮法即可證得

（3）利用（2）的結(jié)論,以及驗(yàn)證時(shí)等式是否成立，即可求出滿足等式的所有正整數(shù).

(1)證明：

當(dāng)時(shí), ；即成立，

時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(ⅰ)當(dāng)時(shí),原不等式成立；

當(dāng)時(shí),左邊,右邊

因?yàn)?/span>所以左邊右邊,原不等式成立；

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,即,

則當(dāng)時(shí)，

于是在不等式兩邊同乘以得

,

所以即當(dāng)時(shí),不等式也成立.

綜合(ⅰ)(ⅱ)知，對(duì)一切正整數(shù)不等式都成立.

(2)證：當(dāng)時(shí),由(1)得于是

(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),

,

即,即當(dāng)時(shí),不存在滿足等式的正整數(shù).

故只需要討論的情形：

當(dāng)時(shí),等式不成立；

當(dāng)時(shí),等式成立；

當(dāng)時(shí),等式成立；

當(dāng)時(shí),為偶數(shù),而為奇數(shù),故，等式不成立；

當(dāng)時(shí),同的情形可分析出,等式不成立.

綜上，所求的只有