Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)直線與曲線和曲線相切，切點(diǎn)分別為，，其中.

①求證：；

②當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）依據(jù)題意得出，利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)和在上的最小值和最大值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）①由題意可得，可得出，再由可得出結(jié)論；

②得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，從而求出的范圍即可．

（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，

依題意可得對(duì)任意的恒成立，

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即.

所以，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）由已知，.

①，則，

由，得.

.

，，即，所以；

②由①知，且，

由，得，

設(shè)，，

所以，函數(shù)在為減函數(shù)，，

由，，

又，.