Question

【題目】設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為，已知點是拋物線的焦點，點到拋物線準線的距離是.

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（2）若是拋物線上的一點且在第一象限，滿足，直線交橢圓于兩點，且，當的面積取得最大值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，拋物線的方程為；（2）或

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓與拋物線幾何條件列方程組，解得，得即得結(jié)果.（2）先根據(jù)拋物線定義求出B點坐標，確定MN斜率，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式得底邊邊長，根據(jù)點到直線距離公式得高，代入三角形面積公式得的面積函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)最值求法確定直線的方程.

試題解析：（1）由題意可列方程組：

，解得，所以.

從而橢圓的方程為，拋物線的方程為.

（2）可設(shè)，拋物線的準線方程為，

由拋物線的定義得： ，解得，

所以，因為點在第一象限，所以.

從而.由于，所以，

的方程可設(shè)為： ，即： .

設(shè)，

聯(lián)立方程組，消去得： ，

可得，

整理為，解得： .

∴， .

所以

點到直線的距離.

所以

當時，即： 時的面積取得最大值.

此時的方程為或.