Question

（2013•寧波二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=

2

．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取AB中點E，連PE、CE，由等腰三角形的性質可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用線面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可證明．
（II）建立如圖所示的空間直角坐標系．利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（Ⅰ）證明：如圖1所示，取AB中點E，連PE、CE．
則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，∴PE⊥AB．
∵PE=1，CE=

3

，PC=2，即PE²+CE²=PC²．
由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．
又∵AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD．
而PE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以AB中點E為坐標原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A（0，-1，0），C（

3

，0，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，1），

AC

=（

3

，1，0），

PC

=（

3

，0，-1），

DC

=（0，2，0）．        
設

n1

=(x1，y1，z1)是平面PAC的一個法向量，
則

n1 • AC =0 n1 • PC =0

，即

3 x1+y1=0 3 x1-z1=0

．
取x₁=1，可得y1=-

3

， z1=

3

，

n1

=(1，-

3

，

3

)．  
設

n2

=(x2，y2，z2)是平面PCD的一個法向量，
則

n2 • DC =0 n2 • PC =0

，即

2y2=0 3 x2-z2=0

．
取x₂=1，可得y2=0， z2=

3

，

n2

=(1，0，

3

)．            
故cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

7

7

，
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是

2

7

7

．

點評：熟練掌握等腰三角形的性質、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、面面垂直、通過建立空間直角坐標系并利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的方法等是解題的關鍵．