Question

（2013•綿陽(yáng)二模）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

3

4

，2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1n∈N₊，k是不等于1的正常數(shù)）．
（I ）試問(wèn)數(shù)列{

1

an

-

2

k-1

}是否成等比數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（II）當(dāng)k=3時(shí)，比較a_n與

3n+4

3n+5

的大小，請(qǐng)寫出推理過(guò)程．

Answer 1

分析：（I ）通過(guò)已知條件2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1，推出

1

an+1

，然后推出

1

an+1

-

2

k-1

與

1

an

-

2

k-1

的關(guān)系，即可判斷數(shù)列{

1

an

-

2

k-1

}成等比數(shù)列；
（II）當(dāng)k=3時(shí)，求出a_n，然后求出a_n-

3n+4

3n+5

的差值，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明兩者的大小關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）由 2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1，可得

1

an+1

=

1

k

(2+

1

an

)，
∴

1

an+1

-

2

k-1

=

1

k

(2+

1

an

)-

2

k-1

=

1

k

(

1

an

-

2

k-1

)，首項(xiàng)為

1

a1

-

2

k-1

=

4

3

-

2

k-1

．
若

4

3

-

2

k-1

=0，即k=

5

2

時(shí)，數(shù)列{

1

an

-

2

k-1

}為零數(shù)列，不成等比數(shù)列．
若

4

3

-

2

k-1

≠0，即k＞0，k≠1且k≠

5

2

時(shí)，
數(shù)列{

1

an

-

2

k-1

}是以

4

3

-

2

k-1

為首項(xiàng)，

1

k

為公比的等比數(shù)列．
∴綜上所述，當(dāng)k=

5

2

時(shí)，數(shù)列{

1

an

-

2

k-1

}不成等比數(shù)列；當(dāng)k＞0，k≠1且k≠

5

2

時(shí)，數(shù)列{

1

an

-

2

k-1

}是等比數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)k=3時(shí)，數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴

1

an

-1=(

1

3

)n，即a_n=

3n

3n+1

=1-

1

3n+1

，
∴a_n-

3n+4

3n+5

=1-

1

3n+1

-（1-

1

3n+5

）=

1

3n+5

-

1

3n+1

=

3n-3n-4

(3n+5)(3n+1)

，
令F（x）=3^x-3x-4（x≥1），則F′（x）=3^xln3-3≥F′（1）＞0，
∴F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
而F（1）=-4＜0，F(xiàn)（2）=-1＜0，F(xiàn)（3）=14＞0，
∴①當(dāng)n=1和n=2時(shí)，a_n＜

3n+4

3n+5

；
②當(dāng)n≥3時(shí)，3ⁿ+1＞3n+5，即

1

3n+5

＞

1

3n+1

，此時(shí)a_n＞

3n+4

3n+5

．
∴綜上所述，當(dāng)n=1和n=2時(shí)，a_n＜

3n+4

3n+5

；當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＞

3n+4

3n+5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，構(gòu)造法與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值的大小，以及作差法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．