Question

【題目】已知數(shù)列中， ，且對(duì)任意正整數(shù)都成立，數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）若，且，求；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列，若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若，求．（用表示）．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)由題意求得首項(xiàng)，公差，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程可得 ；

(2)假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù)k，分類討論可得；

(3)結(jié)合題意分類討論，然后分組求和可得.

試題解析：

（1）時(shí)， ，

所以數(shù)列是等差數(shù)列，

此時(shí)首項(xiàng)，公差，

數(shù)列的前項(xiàng)和是；

故，得 ；

（2）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則它的公比，所以，

①為等差中項(xiàng)，則，

即，解得，不合題意；

②為等差中項(xiàng)，則,

即，化簡(jiǎn)得： ，解得或（舍去）；

③若為等差中項(xiàng)，則，

即，化簡(jiǎn)得： ，解得；

；

綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)， ；

（3），則，

，

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

，

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，

，

也適合上式，

綜上可得， ．