Question

在數(shù)列中，前n項和為，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列前n項和為，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）已知前項和公式求，則.由此可得數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的積或商構(gòu)成的新數(shù)列，求和時用錯位相消法.在本題中用錯位相消法可得
．這也是一個數(shù)列，要求數(shù)列的范圍，首先考查數(shù)列的單調(diào)性，而考查數(shù)列的單調(diào)性，一般是考查相鄰兩項的差的符號.作差易得，所以這是一個遞增數(shù)列，第一項即為最小值.遞增數(shù)列有可能無限增大，趨近于無窮大.本題中由于，所以.由此即得的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，；
當(dāng)時，，經(jīng)驗證，滿足上式．
故數(shù)列的通項公式． 4分
（Ⅱ）可知，
則，
兩式相減，得，
所以． 8分
由于，則單調(diào)遞增，故，
又，
故的取值范圍是                       12分