Question

 

已知⊙和點(diǎn).

（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)向⊙引切線，求直線的方程；

（Ⅱ）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為   4的⊙的方程；

（Ⅲ）設(shè)為（Ⅱ）中⊙上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向⊙引切線，切點(diǎn)為Q. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）設(shè)切線方程為 ，易得，解得……3分

  ∴切線方程為 ………………………………………………………5分

（Ⅱ）圓心到直線的距離為                    …………………………7分

設(shè)圓的半徑為，則   ………………………………………………9分

∴⊙的方程為  ………………………………………………… 10分

（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，相應(yīng)的定值為，

根據(jù)題意可得，∴…………………………12分

即   （*），

又點(diǎn)在圓上∴，即，代入（*）式得：

  ………………………………14分

若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立，∴，

解得，

∴可以找到這樣的定點(diǎn)，使得為定值. 如點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為；

點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為…………………………………………………………16分