Question

【題目】設(shè)是正整數(shù)，且.(1）試求出最大的正整數(shù)，使得存在各邊長(zhǎng)都是不大于的正整數(shù)，且任意兩邊之差(大減�。┒疾恍∮趉的三角形；（2）試求出所有的正整數(shù)，使得（1）中所述的對(duì)應(yīng)于最大的正整數(shù)的三角形有且只有一個(gè).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)三角形三邊長(zhǎng)為正整數(shù)，且

，，，.

則有，.

從而，.

故.所以.

又因?yàn)?/span>，因此.

當(dāng)時(shí)，可取正整數(shù)滿(mǎn)足，

再取，，

此時(shí)且滿(mǎn)足，，.

這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足要求的三角形.

綜上所述正整數(shù)的最大值是.

（2）由（1）知，其中

所以，.

欲使對(duì)應(yīng)于的三角形是惟一的，

必須 (否則，可取到2個(gè)正整數(shù)），

即.

所以，即且.當(dāng)然，這是必要的.

下面證明這也是充分的.

當(dāng)時(shí)，，，，，，，

所以，，

.

又，所以，.且以上各式的等號(hào)必須都成立.

故，

，.

只有這一個(gè)滿(mǎn)足要求的三角形，充分性得證.

總之，所求的必是滿(mǎn)足且的正整數(shù).

注：表示不大于的最大整數(shù).