Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=2x內(nèi)的任意一點(diǎn)Q（s，t）（t²＜2s）作兩條相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)（ ）
A．（s+1，0）
B．（|1-s|，0）
C．（1+2s，0）
D．（|1-2s|，0）

Answer 1

【答案】分析：本選擇題為了簡(jiǎn)化計(jì)算，不妨取Q點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)（，0）．若要證直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)P，只需求出含參數(shù)的直線(xiàn)MN的方程，觀察是否過(guò)定點(diǎn)即可．因此設(shè)出A、B、M、N的坐標(biāo)，用A、B坐標(biāo)表示M、N坐標(biāo)，從而求出直線(xiàn)MN方程，即可得直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，從而得出正確選項(xiàng)．
解答：解：不妨取Q點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)（，0）．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直線(xiàn)AB：y=k（x-）代入y²=2x，得
k²x²-（k²+2）x+k²=0，
∴x₃==+，y₃=k（x₃-）=
同理可得，x₄=+k²，y₄=-k，
∴k_MN==
∴直線(xiàn)MN為y-=（x--），即y=（x-），
結(jié)合直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，可得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P（，0），
對(duì)照Q點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)（，0），定點(diǎn)P可以寫(xiě)成（+1，0）．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線(xiàn)互相垂直的弦AB、CD，求它們的中點(diǎn)確定的直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．著重考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的判斷等知識(shí)，屬于中檔題．