【題目】在四棱錐
中，底面
是菱形，且
，
，
，
，
.
（1）證明：
平面.
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
（1）先連接
，AC與BD交點為E,連接PE，先證直線
平面
，進而可得
，再由
，
，即可得出
平面
；
（2）取
的中點
，由題意可得EB、EC、EF兩兩垂直，因此以E點為坐標原點建立坐標系，分別求出兩平面的一個法向量，進而求兩法向量夾角余弦值，由題中圖形判斷二面角時銳角還是鈍角，即可求出二面角的余弦值.
（1）證明：連接，設
，連接
.
因為底面是菱形，所以
，
.
因為
，，所以
.
因為
，所以平面.
因為
平面，所以.
因為，，所以平面.
（2）解：取的中點.
因為平面，所以
平面.
故以
為原點，
分別為
的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系
，
則
，
，
，
.
故
，
，
.
設平面
的法向量為
.
則
，不妨取
，則
.
設平面
的法向量為
，
則
，不妨取
，則
.
記二面角
的平面角為
，易知為銳角，
則
.
故二面角的余弦值為.
寒假樂園北京教育出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知梯形ABCD中，
，如圖（1）所示.現(xiàn)將△ABC沿邊BC翻折至
A'BC，記二面角A'—BC—D的大小為θ.
（1）當θ＝90°時，如圖（2）所示，過點B作平面與A‘D垂直，分別交
于點E，F，求點E到平面
的距離；
（2）當
時，如圖（3）所示，求二面角
的正切值
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】新冠肺炎疫情期間，為確保“停課不停學”，各校精心組織了線上教學活動．開學后，某校采用分層抽樣的方法從三個年級的學生中抽取一個容量為150的樣本進行關(guān)于線上教學實施情況的問卷調(diào)查．已知該校高一年級共有學生660人，抽取的樣本中高二年級有50人，高三年級有45人．下表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的高二學生日睡眠時間（單位：h）的頻率分布表．
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
| 5 | 0.10 |
| 8 | 0.16 |
| x | 0.14 |
| 12 | y |
| 10 | 0.20 |
| z | |
合計 | 50 | 1 |
（1）求該校學生總數(shù)；
（2）求頻率分布表中實數(shù)x，y，z的值；
（3）已知日睡眠時間在區(qū)間[6，6.5)的5名高二學生中，有2名女生，3名男生，若從中任選2人進行面談，則選中的2人恰好為一男一女的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分).設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為
，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.
(1)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列；
(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率為多少？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計如下：
每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件） |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 10 | 45 | 35 | 6 | 4 |
男員工人數(shù) | 7 | 23 | 18 | 1 | 1 |
（1）其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面
列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？
非“生產(chǎn)能手” | “生產(chǎn)能手” | 合計 | |
男員工 | |||
女員工 | |||
合計 |
（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進計件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計件單價為1元；超出
件的部分，累進計件單價為1.2元；超出
件的部分，累進計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機選取2人進行工資調(diào)查，設實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.
附：
，
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當
時，討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上無零點，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】北京地鐵八通線西起四惠站，東至土橋站，全長18.964km，共設13座車站．目前八通線執(zhí)行2014年12月28日制訂的計價標準，各站間計程票價（單位:元）如下：
四惠 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
四惠東 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ||
高碑店 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | p>5 | |||
傳媒大學 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||||
雙橋 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | |||||
管莊 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | ||||||
八里橋 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |||||||
通州北苑 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
果園 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||
九棵樹 | 3 | 3 | 3 | ||||||||||
梨園 | /p> | 3 | 3 | ||||||||||
臨河里 | 3 | ||||||||||||
土橋 | |||||||||||||
四惠 | 四惠東 | 高碑店 | 傳媒大學 | 雙橋 | 管莊 | 八里橋 | 通州北苑 | 果園 | 九棵樹 | 梨園 | 臨河里 | 土橋 |
（Ⅰ）在13座車站中任選兩個不同的車站，求兩站間票價不足5元的概率；
（Ⅱ）甲乙二人從四惠站上車乘坐八通線，各自任選另一站下車（二人可同站下車），記甲乙二人乘車購票花費之和為X元，求X的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價為
元；乙從土橋站上車，任選另一站下車，記票價為
元．試比較和的方差
和
大�。ńY(jié)論不需要證明）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】先后拋擲一枚骰子兩次，將出現(xiàn)的點數(shù)分別記為
.
（1）設向量
，
，求
的概率；
（2）求在點數(shù)之和不大于5的條件下，中至少有一個為2的概率.
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