【題目】四棱錐
中，
平面
，四邊形是矩形，且
，
，
是線段
上的動(dòng)點(diǎn)，
是線段
的中點(diǎn).
（1）求證：
平面
；
（2）若直線
與平面所成角為
，
①求線段
的長；
②求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）①2②
【解析】
（1）以點(diǎn)
為原點(diǎn)，
為
軸，
為
軸，
為
軸 ，建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證出
，
，再利用線面垂直的判定定理即可證出.
（2）①求出平面
的一個(gè)法向量，利用
，即可求線段
的長；②求出平面
的一個(gè)法向量，再根據(jù)
為平面
的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.
（1）依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸 ，
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
可得
，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，.
即，，
，.
所以
平面.
（2）①設(shè)
為平面的法向量，
則
，即
，
不妨令
，可得
為平面的一個(gè)法向量，
于是有，.
所以
，得
或
（舍）.
，，線段的長為
；.
②設(shè)
為平面的法向量，
，
則
即
，
不妨令
，可得
為平面的一個(gè)法向量，.
又為平面的一個(gè)法向量，.
所以
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于
，若數(shù)列
滿足
，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．
（Ⅰ）已知數(shù)列：1，m+1，m2是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在首項(xiàng)為-1的等差數(shù)列
為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和
滿足
？若存在，求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列
不是“K數(shù)列”，若
，試判斷數(shù)列
是否為“K數(shù)列”，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在
處取得極值，直線
與
的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求
的取值范圍.若的極大值為1，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“三分損益法”是古代中國發(fā)明制定音律時(shí)所用的方法，其基本原理是：以一根確定長度的琴弦為基準(zhǔn)，取此琴強(qiáng)長度的
得到第二根琴弦，第二根琴弦長度的
為第三根琴弦，第三根琴弦長度的為第四根琴弦．第四根琴弦長度的為第五根琴弦．琴弦越短，發(fā)出的聲音音調(diào)越高，這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調(diào)由低到高分別稱為“官、商、角（jué）、微（zhǐ）、羽”，則“角＂和“徵”對應(yīng)的琴弦長度之比為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過54單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)20元.
(1)請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；
(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在
時(shí)，日平均派送量為
單．若將頻率視為概率，回答下列問題：
①估計(jì)這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ；
②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為
（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列及數(shù)學(xué)期望. 請利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合適？并說明你的理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在正方體
中，異面直線
和
分別在上底面
和下底面
上運(yùn)動(dòng)，且
，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①當(dāng)
與所成角為60°時(shí)，與所成角為60°；
②當(dāng)與所成角為60°時(shí)，與側(cè)面
所成角為30°；
③與所成角的最小值為45°
④與所成角的最大值為90°
其中正確的是（ ）
A.①③B.②④C.①③④D.②③④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時(shí)間長達(dá)兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”．某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長比孔的邊長�。�，每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字．設(shè)
，五個(gè)正方形的面積和為S．
（1）求面積S關(guān)于
的函數(shù)表達(dá)式，并求定義域；
（2）求面積S的最小值及此時(shí)
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的短軸長為
，離心率為
。
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為
，
左，右頂點(diǎn)分別為
，
，點(diǎn)
，
，為橢圓上位于
軸上方的兩點(diǎn)，且
，記直線
，
的斜率分別為
，
，若
，求直線
的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某省高考改革方案指出：該省高考考生總成績將由語文數(shù)學(xué)英語3門統(tǒng)一高考成績和學(xué)生從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門等級性考試科目中自主選擇3個(gè)，按獲得該次考試有效成績的考生(缺考考生或未得分的考生除外)總?cè)藬?shù)的相應(yīng)比例的基礎(chǔ)上劃分等級，位次由高到低分為A、B、C、D、E五等21級，該省的某市為了解本市
萬名學(xué)生的某次選考化學(xué)成績水平，統(tǒng)計(jì)在全市范圍內(nèi)選考化學(xué)的原始成績，發(fā)現(xiàn)其成績服從正態(tài)分布
，現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了
名學(xué)生，將所得成績整理后，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估算該校名學(xué)生成績的平均值
（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）現(xiàn)從該校名考生成績在
的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，該兩人成績排名（從高到低）在全市前
名的人數(shù)記為
，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若
，則
，
，
.
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