Question

如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）由側(cè)面，均為正方形可證明三棱柱是直三棱柱. 又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)可證明.從而通過(guò)線面垂直的判定定理可證⊥平面；（Ⅱ）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，通過(guò)三角形中位線的知識(shí)證明線線平行，從而由線面平行的判定定理得到平面；(Ⅲ)根據(jù)題中相關(guān)垂直條件構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系.再找平面的法向量及平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角，通過(guò)比較得到二面角的平面角，從而得到所求.
試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　     1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030231541482.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，　　 2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030231588611.png" style="vertical-align:middle;" />，為中點(diǎn)，
所以.                 3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030231666636.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以平面.          4分
（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030230949522.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以為中點(diǎn)，
又為中點(diǎn)，所以為中位線，
所以，             6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030231916412.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面.        8分

(Ⅲ)解： 因?yàn)閭?cè)面，均為正方形， ，
所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則.
，            9分
設(shè)平面的法向量為，則有
取，得.                                   10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030232384409.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面的法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，則
∴           11分
所以，二面角的余弦值為.            12分