Question

若橢圓C：的離心率e為，且橢圓C的一個焦點(diǎn)與拋物線y²=-12x的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（2，0），點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)|MQ|最小時，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（m，0）為橢圓C長軸（含端點(diǎn)）上的一個動點(diǎn)，過P點(diǎn)斜率為k的直線l交橢圓與A，B兩點(diǎn)，若|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)，求k的值．

Answer 1

解：（1）由題意可得：拋物線y²=-12x的焦點(diǎn)（-3，0），
∵=，∴a=5，∴=4
∴橢圓C的方程為；
（2）設(shè)Q（x，y），-5≤x≤5
∴|MQ|²=（x-2）²+y²=
∵對稱軸為x=＞5，∴x=5時，|MQ|²取得最小值
∴當(dāng)|MQ|最小時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，0）；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=k（x-m）
直線代入橢圓方程，消去y可得（25k²+16）x²-50mk²x+25m²k²-400=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2km=-，y₁y₂=
∴|PA|²+|PB|²=+=（k²+1）•
∵|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)，
∴512-800k²=0，解得k=．
分析：（1）先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再由離心率求得半長軸的長，從而得到短半軸長，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）用坐標(biāo)表示出|MQ|²，利用配方法可得結(jié)論；
（3）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出|PA|²+|PB|²，根據(jù)|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)，可得等式，從而可求k的值．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查配方法的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．