Question

橢圓C：的離心率e=，且過點P（1，）．
（l）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l 與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，且△OAB的面積為，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率e=，且過點P（1，），建立方程，求得幾何量，由此可得橢圓的方程；
（2）設出l的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，求得|AB|，求出O到直線l的距離，利用△OAB的面積為，即可求l的方程．
解答：解：（1）由題意有：，可求得：a=2，b=，
所以，橢圓C的方程：
（2）設直線l：y=x+n，由，消去y可得：7x²+8nx+4n²-12=0 ①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以|AB|==
又O到直線l的距離為d=
所以，
解得n=±1或n=±，代入①式，△＞0，
所以直線l為：y=x±1或y=x±
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．