Question

已知圓系方程x²＋y²－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R，求證：該圓系恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

≠≠　　證法一：將此圓系變形，得到方程a(2y－2x)＋x2＋y2－4y＋2＝0，設(shè)其恒過(guò)定點(diǎn)(x1，y1)，這意味著不論a為何值都有a(2y1－2x1)＋x21＋y21－4y1＋2＝0成立，它等價(jià)于方程組解得x1＝y(tǒng)1＝1，所以該圓系恒過(guò)定點(diǎn)(1，1)． 　　證法二：取a＝0，得x2＋y2－4y＋2＝0，① 　　取a＝2，得x2＋y2－4x＋2＝0．② 　　①－②，得y＝x，代入①得 　　將(1，1)代入x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，得 　　12＋12－2a＋2(a－2)＋2＝2－2a＋2a－4＋2＝0恒成立． 　　所以a取不為1的任意實(shí)數(shù)時(shí)，上述圓系恒過(guò)定點(diǎn)(1，1)． 　　解析：對(duì)求這種含參變量(如本題中的a)方程恒過(guò)的定點(diǎn)的問(wèn)題，一般的辦法是將這個(gè)含參變量分離出來(lái)后通過(guò)討論其恒過(guò)的定點(diǎn)所需滿足的條件求解．還有一種辦法就是將a取兩個(gè)特殊值，得兩個(gè)圓的方程，求其交點(diǎn)，必為所求的定點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，只需再驗(yàn)證即可．需要注意的是：當(dāng)求到定點(diǎn)后，必須再代入方程進(jìn)行一次檢驗(yàn)．只有這樣才能表示圓系對(duì)所有的a≠1，且a∈R恒過(guò)定點(diǎn)．題目要求a≠1是因?yàn)閍＝1時(shí)圓系方程代表一個(gè)點(diǎn)．