Question

已知橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，則在橢圓C上滿足

PF1

•

PF2

=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（　�。�

A．0

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)題意求出焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0）、F₂（2，0）．設(shè)橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），可得向量

PF1

、

PF2

用m、n表示的坐標(biāo)形式，由

PF1

•

PF2

=0列式化簡(jiǎn)得n²=4-m²，根據(jù)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上得

m2

16

+

n2

12

=1，兩式聯(lián)解得出m²=-32，與m²≥0 矛盾，從而得到橢圓上不存在滿足條件的點(diǎn)，由此可得本題的答案．

解答：解：設(shè)橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），
∵a²=16，b²=12，∴c=

a2-b2

=2，
可得焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0）、F₂（2，0），
由此可得

PF1

=（-2-m，-n），

PF2

=（2-m，-n），
設(shè)

PF1

•

PF2

=0，得（-2-m）（2-m）+n²=0，化簡(jiǎn)得n²=4-m²，…①
又∵點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上，∴

m2

16

+

n2

12

=1，化簡(jiǎn)得3m²+4n²=48，
再代入①得3m²+4（4-m²）=48，解之得m²=-32，與m²≥0 矛盾．
因此不存在滿足

PF1

•

PF2

=0的點(diǎn)P．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，求橢圓上滿足

PF1

•

PF2

=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．著重考查了向量數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．