Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．點E在棱PA上，且PE=2EA．
（I）求證：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證CD⊥平面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CD與平面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)PB⊥底面ABCD，則PB⊥CD，利用勾股定理可知BD⊥CD，PB∩BC=B，滿足定理條件；
（Ⅱ）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為PB⊥底面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，所以AB⊥BC．
PB⊥底面ABCD．
而CD?底面ABCD，所以PB⊥CD．
在底面ABCD中，因為∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=

1

2

BC，
所以BD=CD=

2

2

BC，所以BD⊥CD．
又因為PB∩BD=B，所以CD⊥平面PAC
（3）解：設(shè)平面EBD的法向量為

n

=（x，y，1），B（0，0，0），E(0，

2

3

.

1

3

)，

BE

=(0，

2

3

.

1

3

)，D（1，1，0），

BD

=(1，1，0)
則

BE • n =0 BD • n =0

，即

2 3 y+ 1 3 =0 x+y=0

，

n

=(

1

2

，-

1

2

，1)
又∵平面ABE的法向量為

m

=（0，1，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

6

6

．
即二面角A-BE-D的大小的余弦值為

6

6

．

點評：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力