Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求異面直線PD和EC所成角．

Answer 1

分析：（1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，證出AF∥EG，由線面平行的判定定理，即可證出：AF∥平面PCE．
（2）取CD的中點(diǎn)N，得到∠ANM即為異面直線所成角，由長(zhǎng)度關(guān)系得到cos∠ANM=

5

5

即異面直線PD和EC所成角為arccos

5

5

．

解答：證明：（1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線∴FG

∥

.

CD
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)
∴AB

∥

.

CD，∴FG

∥

=AE，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG
又EG?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE；
（2）取CD的中點(diǎn)N，連接MN，AN，AM，
∴MN∥PD，MN=

1

2

PD，AN∥EC
∴∠ANM即為異面直線所成角，
∵PA=2，PA⊥面ABCD，∠PDA=45°，
∴AB=2，AN=

5

，MN=

2

，AM=

1

2

PC=

3

∴cos∠ANM=

5

5

，即異面直線PD和EC所成角為arccos

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面位置關(guān)系，面面位置關(guān)系的判定，空間角的求解．考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．