Question

點(diǎn)P、Q在曲線x²+y²=1（y≥0）上，O是xOy坐標(biāo)系原點(diǎn)，P、Q在x軸上的射影是M、N，并且OQ平分∠PON，則(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)的最小值是（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：設(shè)Q（cosθ，sinθ），則P（cos2θ，sin2θ）．則M（-cos2θ，0），N（cosθ，0）．利用數(shù)量積運(yùn)算可得(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性和θ的范圍即可得出．

解答：解：設(shè)Q（cosθ，sinθ），則P（cos2θ，sin2θ）．
則M（-cos2θ，0），N（cosθ，0）．
∴(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)=（cosθ-cos2θ，0）•（cosθ+cos2θ，sinθ+sin2θ）
=cos²θ-cos²2θ
=cos²θ-（2cos²θ-1）²
=-4cos⁴θ+5cos²θ-1
=-4(cos2θ-

5

8

)2+

9

16

，
∵y≥0，∴0≤θ≤π．
∴0≤cos²θ≤1．
∴當(dāng)cos²θ=0時(shí)，則(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)的最小值是-1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．