Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，有橢圓 (為參數(shù))和拋物線 (為參數(shù)).

（Ⅰ）是否存在這樣的值，使得該橢圓與該拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.

（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，該橢圓與該拋物線的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于這個(gè)交點(diǎn)與該橢圓中心的距離？

Answer 1

【答案】（1）不存在（2）0或 .

【解析】試題分析：（1）將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯(lián)立得方程組,轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題；（2）確定該橢圓與該拋物線的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)交點(diǎn)與該橢圓中心的距離，比較判斷即可.

試題解析：

解：（Ⅰ）將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯(lián)立得方程組：

消去y得,令.

由拋物線方程知,則橢圓與拋物線有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程

在上有兩個(gè)不等的實(shí)根,即 即

顯然此不等式組無解,故滿足題設(shè)條件的值不存在.

（Ⅱ）由Δ≥0得,又知橢圓的半長(zhǎng)軸,拋物線的頂點(diǎn)為,故當(dāng),即時(shí),橢圓與拋物線必相交.

若滿足題設(shè)條件,可有以下兩種情況：①橢圓中心與原點(diǎn)重合,此時(shí)；②橢圓與拋物線的交點(diǎn)在橢圓中心與原點(diǎn)所連線段的垂直平分線上,即交點(diǎn)在直線上，

將代入,得,解得舍去負(fù)值）.

綜上所述,滿足題設(shè)條件的值應(yīng)為0或 .