Question

【題目】經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線的斜率均存在，且直線的斜率之積為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn).若點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)部，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析: (1)先利用點(diǎn)差法由直線的斜率之積為 得之間關(guān)系,再解出離心率,(2)點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)部，等價(jià)于，而可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和與積的關(guān)系. 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和與積關(guān)于的關(guān)系式，代入，解不等式可得的取值范圍.

試題解析:

（1）設(shè)則，∵點(diǎn)三點(diǎn)均在橢圓上，

∴， ，

∴ 作差得，

∴，

∴.

（2）設(shè)，直線的方程為，記，

∵，∴，

聯(lián)立得， ，

∴，

當(dāng)點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)部時(shí)， ，

∴，

得，

解得.