Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)的正負(fù)分類討論單調(diào)性即可;

(2)解法一:若恒成立,即,根據(jù)(1)中的單調(diào)性求出其最大值即可列式求解;解法二:若恒成立,即恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可得出結(jié)論;

(3)由(2)知當(dāng)時,有在恒成立,令,即可推出,再對不等式兩邊累加求和,即可推出結(jié)論.

(1)函數(shù)的定義域為,,

①當(dāng)時,,則在上是增函數(shù);

②當(dāng)時,由,得;由,得,

則在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

(2)解法一:

由(1)知時,在遞增,而,

所以不恒成立,故,

又由(1)知時,

因為恒成立,

所以,解得,

所以實數(shù)的取值范圍為.

解法二:

由題意知,因為恒成立,所以恒成立,

令,則,

令,令,

所以在上遞增,在上遞減,

所以,

所以實數(shù)的取值范圍為.

(3)由(2)知,當(dāng)時,有在恒成立,

令,則,

即,從而,

所以,

即.