Question

【題目】在中，設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.

（1）若，，成等比數(shù)列，求證：；

（2）若（為銳角），.求中邊上的高.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由，，成等比數(shù)列得，再利用余弦定理及基本不等式求出的范圍，從而證明；

（2）先利用二倍角公式解得；再由正弦定理求得；下面可采用種方法求解.方法一：由余弦定理求得，再利用邊上的高代入即得；方法二：先由同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系算出，進(jìn)而算出，再利用邊上的高代入即得

解：（1）證明：因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，所以

而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

又因?yàn)?/span>為三角形的內(nèi)角，所以

（2）在中，因?yàn)?/span>，所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以由正弦定理，解得

法1：由，得.

由余弦定理，得.

解得或（舍）

所以邊上的高.

法2：由，得.

又因?yàn)?/span>，所以

所以

或（舍）

（或：因?yàn)?/span>，且，所以為銳角，）

又因?yàn)?/span>所以

∴

所以邊上的高.