Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線過(guò)焦點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn), ,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

（Ⅰ）求拋物線的方程;

（Ⅱ）若點(diǎn)是拋物線位于曲線 (為坐標(biāo)原點(diǎn))上一點(diǎn),求的最大面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�,又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,且縱坐標(biāo)為,利用拋物線的定義，求得，即可得到拋物線的方程；

（Ⅱ）由題意設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，利用三角形的面積公式和點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到面積的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�,所以.

又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,且縱坐標(biāo)為,

由拋物線的定義知: ,所以.

所以拋物線的方程為: .

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,且縱坐標(biāo)為,所以或

因?yàn)橹本�過(guò)拋物線的焦點(diǎn)

當(dāng)時(shí),直線的方程為

當(dāng)與直線平行且與拋物線相切于第一象限的點(diǎn)時(shí), 面積取得最大值

設(shè)直線方程為

由知,由知

直線方程為

此時(shí)兩平行線間的距離為

因?yàn)?/span>

所以.

同理當(dāng)時(shí),所以.

綜上, 面積的最大值為