Question

已知△ABC滿足，則△ABC的形狀為（ ）
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形

Answer 1

【答案】分析：把已知的等式左邊利用=化簡(jiǎn)，右邊利用•=||||cosα（其中α為兩向量的夾角）化簡(jiǎn)，然后在利用正弦定理把邊化為角后，根據(jù)C為三角形的內(nèi)角可得sinC不為0，在等式兩邊同時(shí)除以sinC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得sinC=sin（A+B），利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，移項(xiàng)合并后再利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可得sin（A-B）=0，由A和B都為三角形的內(nèi)角，可得A=B，從而利用等角對(duì)等邊可得三角形為等腰三角形．
解答：解：根據(jù)=2•得到：c²=2bccosA，
由正弦定理==2R，可得sin²C=2sinBsinCcosA，
又C為三角形的內(nèi)角，得到sinC≠0，
可得sinC=2sinBcosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，且A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴A=B，
則△ABC的形狀為等腰三角形．
故選D
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理，誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，其中利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式是本題的突破點(diǎn)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．