Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若，記函數(shù)的兩個極值點為，（其中），求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減；

（2）.

【解析】

（1）求出導函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意題中函數(shù)定義域是，因此對二次三項式分類情況為第一類：或，第二類且．

（2）與極值點有關的問題，不是直接代入極值點，而是用表示極值點，由是方程的解，得，..不妨設，引入變量，則，就轉化為的函數(shù)，由求得的范圍，由導數(shù)知識可得所求最大值．

（1）.

令，則.

①當或，即時，得恒成立，

∴在上單調遞增.

②當，即時，

由，得或；

由，得.

∴函數(shù)在和上單調遞增，

在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞增；

當時，函數(shù)在和上單調遞增，

在上單調遞減.

（2）由（1）得，當時，有兩極值點，（其中）.

則，為的兩根，

∴，.

.

令，

則.

由，得，

即，解得.

∵，

∴在上單調遞減，

∴.

即的最大值為.