Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)過F的直線交軌跡E的弦為AB，過原點(diǎn)的直線交軌跡E的弦為CD，若，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是，列出等式，再化簡(jiǎn)即可得出答案.

（2）設(shè)出直線AB與直線CD，聯(lián)立直線與橢圓，即可得出、的值，即可求出.

解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意得，將兩邊平方，并簡(jiǎn)化得，

故軌跡的方程是．

（2）證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，易求，，

則．

②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線AB的斜率為k，依題意，

則直線AB的方程為，直線CD的方程為．

設(shè)，，，，

由得

．

則，，

由整理得，則．

．

∴．

綜合①②知：為定值．