已知正項數(shù)列的首項
,前
項和
滿足
.
(Ⅰ)求證:為等差數(shù)列,并求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前
項和為
,若對任意的
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
解析試題分析:(Ⅰ)求證為等差數(shù)列,只需證
等于常數(shù),由
,而
,代入整理可得
為等差數(shù)列,從而求出數(shù)列
的通項公式
;(Ⅱ)不等式
恒成立,轉(zhuǎn)化為求
的最大值,而
的前
項和為
可用拆項相消法求得
的最大值,從而解一元二次不等式得實數(shù)
的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)證明:當時,
,又
,
,因為
,
,
, 即
,
,所以數(shù)列
是首項為
,公差為
的等差數(shù)列.
由此可得,由
,當
時,
也適合,所以
;
(Ⅱ)因為,
所以, ,
,對任意的
,不等式
恒成立,
,解得
,
所以對任意的,不等式
恒成立,實數(shù)
的取值范圍
.
考點:1、等差數(shù)列的證明,2、與
的關系,3、求數(shù)列的通項公式,4、數(shù)列求和,5、解一元二次不等式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設是首項為
,公差為
的等差數(shù)列
,
是其前
項和.
(1)若,
,求數(shù)列
的通項公式;
(2)記,
,且
、
、
成等比數(shù)列,證明:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
數(shù)列的前n項和為
,
和
滿足等式
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(Ⅲ)若數(shù)列滿足
,求數(shù)列
的前n項和
;
(Ⅳ)設,求證:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知各項均為正數(shù)的兩個無窮數(shù)列、
滿足
.
(Ⅰ)當數(shù)列是常數(shù)列(各項都相等的數(shù)列),且
時,求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)設、
都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列
有無窮多個,而數(shù)列
惟一確定;
(Ⅲ)設,
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列是首項為1,公差為
的等差數(shù)列,數(shù)列
是首項為1,公比為
的等比
數(shù)列.
(1)若,
,求數(shù)列
的前
項和;
(2)若存在正整數(shù),使得
.試比較
與
的大小,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}的通項公式為,從數(shù)列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8,…,
,…,構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn},求{bn}的前n項和.
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