Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ，平面底面， 為的中點(diǎn)， 是棱上的點(diǎn)， ， ， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若異面直線與所成角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）或.

【解析】試題分析：（1）推導(dǎo)出四邊形BCDQ為平行四邊形，從而CD∥BQ．又QB⊥AD．從而BQ⊥平面PAD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD；（2）以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出t的值，即可得到比值。

解析：

（Ⅰ）證明：∵， ， 為的中點(diǎn)，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

∵，∴，即.

又∵平面平面，且平面平面.

∵平面.

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）∵， 為的中點(diǎn)，∴.

∵平面平面，且平面平面.

∴平面.

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ，設(shè)，

∴， ， .

由是上的點(diǎn)，設(shè)，化簡得.

設(shè)異面直線與所成角為，

則.

∴，計算得或，故或.

注：若只算出一個答案，扣1分；算出兩個值即得滿分.