Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；

（2）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；

（2） 綜上，當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點；當(dāng)時，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則時，

在區(qū)間恒成立，解此不等式組即可；

（2）令則求函數(shù)的極值點的個數(shù)求函數(shù)實根的個數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，無根；當(dāng)時，討論二次函數(shù)在區(qū)間根的情況即可.

試題解析：（1） ，

令，要使，則使即可，而是關(guān)于的一次函數(shù)，

∴，解得或，

所以的取值范圍是

（2）令，

當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上遞增，無極值點；

當(dāng)時，，

①當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，無極值點；

②當(dāng)時，，設(shè)方程的兩個根為（不妨設(shè)），

因為，所以，由，∴，

所以當(dāng)，函數(shù)遞增；

當(dāng)，函數(shù)遞減；

當(dāng)，函數(shù)遞增；因此函數(shù)有兩個極值點，

當(dāng)時，，由，可得，

所以當(dāng)，函數(shù)遞增；

當(dāng)，函數(shù)遞減；因此函數(shù)有一個極值點，

綜上，當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點；

當(dāng)時，函數(shù)無極值點；

當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點