Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x）﹣f（x）＞1，f（0）=2016，則不等式f（x）＞2017ex﹣1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
B.（2017，+∞）
C.（0，+∞）
D.（0，+∞）∪（2017，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設g（x）=e﹣xf（x）+e﹣x，

則g′（x）=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）﹣e﹣x=e﹣x[f'（x）﹣f（x）﹣1]，

∵f（x）﹣f′（x）＞1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＞0，

∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，g（0）=2017，

∵f（x）＞2017ex﹣1，∴e﹣xf（x）＞2017﹣e﹣x，

得到g（x）＞2017=g（0），

∴g（x）＞g（0），得x＞0，

∴f（x）＞2017ex﹣1的解集為（0，+∞），

故選：C．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．