Question

【題目】橢圓 （）的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線 與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的離心率和兩點(diǎn)間的距離公式可得的值，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)求出的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，在利用以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，可得，即可得出與的關(guān)系，即可得出答案．

試題解析：（1）由題：①

左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為：②

由①②可解得，，．

所求橢圓的方程為．

（2）設(shè)、，將代入橢圓方程得

，

，，且，

為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)，所以．

所以

．

整理得． 或都滿足．

若時(shí)，直線為，恒過定點(diǎn)，不合題意舍去；

若時(shí)，直線為，恒過定點(diǎn)．