Question

（2007•楊浦區(qū)二模）（理）設(shè)虛數(shù)z滿足z+

4

z

=a（其中a為實(shí)數(shù)）．
（1）求|z|；
（2）若|z-2|=2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可先令虛數(shù)z=x+yi（x，y∈R且y≠0），代入z+

4

z

=a，整理后令虛部為0，解出x²+y²=4（y≠0），即可求得此虛數(shù)的模；
（2）由|z-2|=2可得（x-2）²+y²=4，與（1）的結(jié)論方程x²+y²=4（y≠0）聯(lián)立，解此方程組，即可得到復(fù)數(shù)z，代入z+

4

z

=a即可解出a的值

解答：解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R且y≠0）（2分）
則z+

4

z

=x+yi+

4x-4yi

x2+y2

=a∈R
∴y-

4y

x2+y2

=0（4分）
∴x²+y²=4（y≠0），即|z|=2； （6分）
又|z-2|=2得　（x-2）²+y²=4，與x²+y²=4（y≠0）聯(lián)立
解得x=1，y=

3

或x=1，y=-

3

∴z1=1+

3i

，z2=1-

3i

（10分）
∴a=z+

4

z

=2  （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的乘法，求復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)求模公式，解題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，以及理解虛數(shù)z滿足z+

4

z

=a（其中a為實(shí)數(shù)），得出虛部為0，從而得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部所滿足的方程．本題考查了待定系數(shù)法，其特征是所研究的對(duì)象性質(zhì)已知，可根據(jù)其性質(zhì)設(shè)出它的解析式．