Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)，點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

（1）（2）由
則且由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，
整理得直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

試題分析：（1）由橢圓C的離心率
得，其中，
橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為
又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上

解得
  
（2）由題意，知直線MN存在斜率，其方程為
由
消去
設(shè)
則
且  
由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，
得
化簡，得    

整理得
 直線MN的方程為，  
因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）  
點(diǎn)評：直線與橢圓相交問題常用的思路：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理為x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題轉(zhuǎn)化到兩根來表示