Question

【題目】已知直線方程為，其中

（1）求證：直線恒過定點；

（2）當(dāng)變化時，求點到直線的距離的最大值；

（3）若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于兩點，求面積的最小值及此時的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

試題（1）本題考察的是直線恒過定點，本題中直線含參數(shù)，我們需要把直線方程進(jìn)行化簡，把含的綜合在一起，求出兩個方程的解集即可得到定點．

（2）本題考察的是求點到直線的距離的最大值，因為直線恒過定點，只需保證定點與已知點的連線與已知直線垂直時距離最大，所以距離的最大值即為已知點與定點的距離，利用兩點間距離公式即可求出答案．

（3）本題考察的是求直線的截距問題，由（1）直線過定點，根據(jù)點斜式方程寫出直線方程，分別求出在軸的截距，根據(jù)面積公式結(jié)合基本不等式即可求出相應(yīng)的斜率，從而求出直線方程．

試題解析：（1）證明：直線方程為，

可化為

對任意都成立，所以，解得，所以直線恒過定點．

（2）點到直線的距離最大，可知點與定點的連線的距離就是所求最大值，

即

（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點，直線方程為，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，面積的最小值為4

此時直線的方程為