Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都等于.

（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，

①求異面直線(xiàn)和所成角的余弦值；

②求二面角的正弦值；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上（包括兩個(gè)端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線(xiàn)所成角和二面角的求解方法求解；

（2）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用空間向量求出線(xiàn)面角的目標(biāo)式，結(jié)合目標(biāo)式的特征求解范圍.

（1）取的中點(diǎn)為建立空間直角坐標(biāo)系，

則

當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，則

①

設(shè)異面直線(xiàn)和所成角為則=

② 設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則

所以令則

設(shè)平面的一個(gè)法向量為則

令

設(shè)二面角的平面角為，

則

所以

（2）當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)

設(shè)

則

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為則

設(shè)設(shè)所以

設(shè)

直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值的取值范圍為