Question

【題目】如圖，在四棱錐ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，頂角D1在底面ABCD內的射影恰好為點C．
（1）求證：AD1⊥BC；
（2）若直線DD1與直線AB所成角為 ，求平面ABC1D1與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值函數(shù)值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接D1C，則D1C⊥平面ABCD，

∴D1C⊥BC

在等腰梯形ABCD中，連接AC

∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD

∴BC⊥AC

∴BC⊥平面AD1C

∴AD1⊥BC

（2）解法一：

∵AB∥CD∴

∵CD=1∴

在底面ABCD中作CM⊥AB，連接D1M，則D1M⊥AB，所以∠D1MC為平面ABC1D1與平面ABCD所成角的一個平面角

在Rt△D1CM中， ，

∴ ∴

即平面ABC1D1與平面ABCD所成角（銳角）的余弦函數(shù)值為

解法二：

由（Ⅰ）知AC、BC、D1C兩倆垂直，

∵AB∥CD∴ ∴

在等腰梯形ABCD中，連接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD，

所以 ，建立如圖空間直角坐標系，

則 ，B（0，1，0），

設平面ABC1D1的一個法向量

由 得

可得平面ABC1D1的一個法向量 ．

又 為平面ABCD的一個法向量．

因此

所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）證明：連接D1C，證明BC⊥平面AD1C，利用直線與平面垂直的性質定理證明AD1⊥BC．（Ⅱ）解法一：連接D1M，則D1M⊥AB，說明∠D1MC為平面ABC1D1與平面ABCD所成角的一個平面角，在Rt△D1CM中，求出 ，得到平面ABC1D1與平面ABCD所成角（銳角）的余弦函數(shù)值為 ．

解法二：

由（Ⅰ）知AC、BC、D1C兩倆垂直，建立如圖空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面ABC1D1的一個法向量，平面ABCD的法向量．通過向量的數(shù)量積求解平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．

【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．