Question

已知直線3x+4y-12=0與x軸、y軸相交于A，B兩點，點C在圓（x-5）²+（y-6）²=9上移動，則△ABC面積的最大值和最小值之差為

15

．

Answer 1

分析：作出與已知直線平行且與圓（x-5）²+（y-6）²=9相切的直線，切點分別為P₁、P₂，如圖所示．由圓的性質和三角形面積公式可得動點C分別與P₁、P₂重合時，△ABC面積達到最小值和最大值．因此△ABC面積的最大值、最小值之差為S△ABP2-S△ABP1=

5

2

（d₂-d₁），結合圓的切線的性質得到d₂-d₁等于直徑，由此即可算出△ABC面積的最大值和最小值之差．

解答：解：設作出與已知直線平行且與圓（x-5）²+（y-6）²=9相切的直線，
切點分別為P₁、P₂，如圖所示
則動點C在圓（x-5）²+（y-6）²=9上移動時，若C與點P₁重合時，
△ABC面積達到最小值；而C與點P₂重合時，△ABC面積達到最大值
∵直線3x+4y-12=0與x軸、y軸相交于A（4，0）、B（0，3）兩點
可得|AB|=

42+32

=5
∴△ABC面積的最大值和最小值之差為
S=S△ABP2-S△ABP1=

1

2

|AB|（d₂-d₁）=

5

2

（d₂-d₁），
其中d₂、d₁分別為點P₂、點P₁到直線AB的距離
∵P₁、P₂是圓（x-5）²+（y-6）²=9的兩條平行切線
∴點P₂、點P₁到直線AB的距離之差等于圓的直徑，即d₂-d₁=6
因此△ABC面積的最大值和最小值之差為

5

2

（d₂-d₁）=

5

2

×6=15
故答案為：15

點評：本題給出線段AB和圓上的動點C，求三角形ABC面積的最大值與最小值之差．著重考查了圓的性質、直線與圓的位置關系和三角形的面積計算等知識，屬于中檔題．