Question

設(shè)x，y為正實數(shù)，a=

x2+xy+y2

，b=p

xy

，c=x+y．
（Ⅰ）如果p=1，則是否存在以a，b，c為三邊長的三角形？請說明理由；
（Ⅱ）對任意的正實數(shù)x，y，試探索當(dāng)存在以a，b，c為三邊長的三角形時的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過p=1利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，判斷三角形的存在情況．
（Ⅱ）存在以a，b，c為三邊長的三角形時，通過

a+c＞b c-a＜b

，利用換元法，構(gòu)造法，利用基本不等式求出p的范圍．

解答：解：（Ⅰ）存在．
當(dāng)p=1時，b=

xy

，
x+y+

x2+xy+y2

＞

xy

顯然成立，
且x+y-

x2+xy+y2

=

xy

x+y+ x2+xy+y2

＜xy，易知a＜c，由上得

a+c＞b c-a＜b

，
故當(dāng)p=1時，存在以a，b，c為三邊長的三角形．
（Ⅱ）∵a＜c，∴若存在以a，b，c為三邊長的三角形時，只需

a+c＞b c-a＜b

，
即

x+y+ x2+xy+y2 ＞p xy …① x+y- x2+xy+y2 ＜p xy …②

不等式①②兩邊都除以

xy

，令

x

y

=t，得

f(t)＞p g(t)＜p

，這里f（t）=

t

+

1

t

+

t+ 1 t +1

，
g（t）=

t

+

1

t

-

t+ 1 t +1

，
由于f（t）=

t

+

1

t

+

t+ 1 t +1

≥2+

2+1

=2+

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，f（t）取最小值2+

3

，令m=

t

+

1

t

，
則m≥2，g（t）=

t

+

1

t

-

t+ 1 t +1

=m-

m2-1

，
易知函數(shù)φ（m）=m-

m2-1

在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
故φ（m）_max=2-

3

，即g（t）≤2-

3

，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，g（t）取最大值2-

3

；
因此p的取值范圍為2-

3

＜p＜2+

3

．
即p的取值范圍為2-

3

＜p＜2+

3

時，存在以a、b、c為三邊長的三角形．

點評：本題考查三角形的形狀的判斷，基本不等式的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用，函數(shù)的最值，考查分析問題解決問題，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．