Question

已知曲線C1：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），曲線C2=

x=1+tcosα y=-1+tsinα

（t為參數(shù)）．
（1）若α=

π

4

，求曲線C₂的普通方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（2）曲線C₁和曲線C₂的交點(diǎn)記為M，N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）將α的值代入曲線方程，消去參數(shù)t即可求出曲線C₂的普通方程，再根據(jù)直線參數(shù)方程代表的幾何意義可知；
（2）將弦長(zhǎng)MN表示出來(lái)|MN|=2

4-|OG|2

，要使|MN|的最小值，只需弦心距最大即可，此時(shí)弦心距為OG，解之即可．

解答：解：（1）∵α=

π

4

∴

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t為參數(shù)）
∴x-1=y+1，∴曲線C₂的普通方程是y=x-2（2分）
它表示過(guò)（1，-1），傾斜角為

π

4

的直線（3分）
（2）曲線C₁的普通方程為x²+y²=4（5分）
設(shè)G（1，-1），過(guò)G作MN⊥OG，
以下證明此時(shí)|MN|最小，
過(guò)G作直線M′N′，M′N′與MN不重合|M′N′|=2

4-|OG′|2

|MN|=2

4-|OG|2

在Rt△OG′G中，∵|OG|＞|OG′|∴|MN|＜|M′N′|（8分）
此時(shí)，|MN|=2

4-2

=2

2

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程，以及直線和圓的方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．