Question

（2010•南充一模）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)F（-2，0）
①求雙曲線方程
②設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：①由題意設(shè)出雙曲線的方程，再由離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)F（-2，0）求出a的值，結(jié)合b²=c²-a²求出b²，則雙曲線的方程可求；
②設(shè)出直線l的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由|

MQ

|=2|

QF

|，得

MQ

=2

QF

或

MQ

=-2

QF

．
分類討論后利用定比分點(diǎn)公式求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用Q點(diǎn)在雙曲線上代入求得k的值，則直線方程可求．

解答：解：①由題意設(shè)所求雙曲線方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
則有e=

c

a

=2，c=2，∴a=1，則b=

3

∴所求的雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1；
②∵直線l與y軸相交于M，且過(guò)焦點(diǎn)F（-2，0），
∴l(xiāng)的斜率k一定存在，設(shè)為k，則l：y=k（x+2）．
令x=0得M（0，2k）
∵|

MQ

|=2|

QF

|，且M、Q、F共線于l
∴

MQ

=2

QF

或

MQ

=-2

QF

．
當(dāng)

MQ

=2

QF

時(shí)，Q分

MF

所成的比λ=2，設(shè)Q（x_Q，y_Q）
則xQ=

2×(-2)

1+2

=-

4

3

，yQ=

2k+2×0

1+2

=

2

3

k
因?yàn)镼在雙曲線上，所以

16

9

-

4k2

27

=1，解得k=±

21

2

．
當(dāng)

MQ

=-2

QF

時(shí)，Q分

MF

所成的比λ=-2，
同理求得Q（-4，-2k），代入雙曲線方程得，16-

4

3

k2=1，解得k=±

3

2

5

．
則所求的直線l的方程為：y=±

21

2

(x+2)或y=±

3

2

5

(x+2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了定比分點(diǎn)公式，是有一定難度題目．