Question

【題目】已知橢圓兩焦點，并經(jīng)過點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓上關(guān)于軸對稱的不同兩點，為軸上兩點，且，證明：直線的交點仍在橢圓上；

（3）你能否將（2）推廣到一般橢圓中？寫出你的結(jié)論即可.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）若橢圓，若，則直線的交點仍在橢圓上；

【解析】

（1）已知焦點，利用橢圓的定義，求得橢圓的長軸長，再求得，寫出方程即可.

（2）設(shè)，得到直線的方程為，直線 的方程為 ，設(shè)設(shè)交點 ，分別代入直線， 的方程得 ，，兩式化簡得到，說明交點在橢圓上.

（3）根據(jù)（2）的論證過程，推知規(guī)律是.

根據(jù)題意，橢圓的長軸長： ，

解得 ，

又 ，

所以橢圓的方程是.

（2）設(shè) ，

則直線 的方程為①，

直線 的方程為 ②

設(shè)交點 ，代入①②得

③ ，

④，

③與④兩邊分別相乘得

，

又因為，，

所以，

所以直線的交點的坐標(biāo)適合橢圓的方程，

所以直線的交點仍在橢圓上.

（3）若橢圓，若，則直線的交點仍在橢圓上；