Question

0＜a＜

1

5

是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的（　　）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．非充分非必要條件

Answer 1

分析：分類討論：①當(dāng)a＜0時(shí)，不那組題意，②當(dāng)a=0時(shí)，滿足題意③a＞0時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=

1-a

a

，函數(shù)的減區(qū)間是（-∞，

1-a

a

]，要使函數(shù)在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)，則需區(qū)間（-∞，4]在對(duì)稱軸左側(cè)，即

1-a

a

≥4，解之可得a的范圍．綜合可得其充要條件是0≤a≤

1

5

，由集合的包含關(guān)系可得答案．

解答：解：①當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=

1-a

a

，
故f（x）在（-∞，

1-a

a

]上單調(diào)遞增，不可能滿足在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)．
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+2，此時(shí)f（x）是一次函數(shù)，滿足在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)．
③a＞0時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=

1-a

a

函數(shù)的減區(qū)間是（-∞，

1-a

a

]，要使函數(shù)在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)，
則需區(qū)間（-∞，4]在對(duì)稱軸左側(cè)，所以

1-a

a

≥4，解得a≤

1

5

．
綜上可得函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充要條件是0≤a≤

1

5

．
因?yàn)閧a|0＜a＜

1

5

}是{a|0≤a≤

1

5

}的真子集，
所以0＜a＜

1

5

是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充分不必要條件，
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷，涉及二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論的思想，屬中檔題．