Question

0＜a≤

1

5

是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的（　�。�條件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

Answer 1

分析：對a進行討論，當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，當a≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，此時分兩種情況，當a＞0時，函數(shù)開口向上，先減后增，當a＜0時，函數(shù)開口向下，先增后減，求出函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)的充要條件再進行判斷即可．

解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)f（x）=-2x+2為遞減函數(shù)，
（2）當a＞0時，二次函數(shù)開口向上，先減后增，故函數(shù)對稱軸為x=

1-a

a

≥4，解得0＜a≤

1

5

；
當a＜0時，函數(shù)開口向下，先增后減，
函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上不可能為減函數(shù)，故舍去．
故函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)的充要條件為0≤a≤

1

5

由0＜a≤

1

5

能推出0≤a≤

1

5

，但由0＜a≤

1

5

不能推出0≤a≤

1

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，
故0＜a≤

1

5

是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充分不必要條件．
故選A．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性和對稱軸、充要條件的判斷，屬于基礎題．