Question

（2011•自貢三模）給出下列5個(gè)命題：
①0＜a≤

1

5

是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓敘道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2c_l和2c₂分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有a₁-c₁=a₂-c₂；
③y=f（x）與它的反函數(shù)y=f^-1（x）的圖象若相交，則交點(diǎn)必在直線y=x上；
④若a∈（π，

5π

4

），則

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

；
⑤函數(shù)f（x）=

e-x+3

e-x+2

（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為2．
其中所有真命題的代號(hào)有

②④

．

Answer 1

分析：①利用二次函數(shù)的性質(zhì)，由其在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)解出參數(shù)的取值范圍，依據(jù)依據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷即可，
②由橢圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可，
③利用特例說明其不成立即可，如指數(shù)函數(shù)y=(

1

16

)x的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log

1

16

x的圖象的交點(diǎn)有P（

1

2

，

1

4

），Q（

1

4

，

1

2

），就是不在直線y=x上的兩個(gè)交點(diǎn)，由此可知原結(jié)論不正確，
④由a∈（π，

5π

4

），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，于是

1

1-tanα

＞1+tanα；再根據(jù)均值不等式可得1+tanα＞

2tanα

，
⑤由均值不等式可判斷出不存在實(shí)數(shù)x使得等號(hào)成立，故函數(shù)f（x）不存在最小值．

解答：解：對(duì)于①：函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)，若a=0時(shí)成立，若a＞0時(shí)，必有-

a-1

a

≥4解得a≤

1

5

，故可得出0≤a≤

1

5

，由此知①中的條件與結(jié)論之間是充分不必要條件．故不是真命題；
②由橢圓的性質(zhì)知a₁-C_l=a₂-c₂，即有a₂+C_l=a₁+c₂，此四數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，由基本不等式得c₁a₂＞a₁c₂，故是真命題；
③指數(shù)函數(shù)y=(

1

16

)x的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log

1

16

x的圖象的交點(diǎn)有P（

1

2

，

1

4

），Q（

1

4

，

1

2

），就是不在直線y=x上的兩個(gè)交點(diǎn)，故不是真命題；
④∵由a∈（π，

5π

4

），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，再根據(jù)均值不等式可得1+tanα＞

2tanα

，則

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

，故是真命題；
⑤由均值不等式函數(shù)f（x）=f（x）=

e-x+3

e-x+2

=

e-x+2

+

1

e-x+2

≥2，由e^-x+2=1知不存在實(shí)數(shù)x使得等號(hào)成立，故函數(shù)f（x）不存在最小值，故不是真命題．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題作為一個(gè)判斷命題真假的題目，涉及到了函數(shù)的單調(diào)性橢圓的性質(zhì)等內(nèi)容，題目較難判斷，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是高考中比較重要的，從中總結(jié)下對(duì)命題的考試與這些知識(shí)的銜接．綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，均值不等式，反函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生要求較高．屬于難題．