Question

（本小題滿分13分）如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面，且，

（1）求證：平面；
（2）求凸多面體的體積．

Answer 1

（1）見解析；（2）

本試題主要考查了多面體的體積的求解以及線面垂直的判定定理的運用。
（1）要證明AB垂直于平面，則利用AB//CD，通過證明CD垂直于平面得到證明。
（2）對多面體的體積可知看作是四棱錐的體積，結合分割的思想轉化為兩個三棱錐的體積和，得到結論。
（1）證明：∵平面，平面，

∴．
在正方形中，，
∵，∴平面．
∵，
∴平面．………………7分
（2）解法1：在△中，，，
∴．
過點作于點，
∵平面，平面，
∴．
∵，
∴平面．
∵，
∴．
又正方形的面積，
∴ 
．
故所求凸多面體的體積為．………………14分
解法2：在△中，，，
∴．
連接，則凸多面體分割為三棱錐
和三棱錐．
由（1）知，．
∴．
又，平面，平面，
∴平面．
∴點到平面的距離為的長度．
∴．
∵平面，
∴．
∴．
故所求凸多面體的體積為．………………14分