Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，當(dāng)n≥2時(shí)，有．
（1）求a₃的值；（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（3）記，證明：對(duì)任意n∈N^*，．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=2時(shí)，，利用條件a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，結(jié)合正整數(shù)數(shù)列{a_n}，可求；
（2）先猜后證，關(guān)鍵是第二步的證明，必須利用歸納假設(shè)；
（3）通過兩次等式相減，利用錯(cuò)位相減法求和，從而可證．
解答：解：（1）n=2時(shí)，，由已知a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，因?yàn)檎�整�?shù)數(shù)列{a_n}，所以a₃=18；
（2）猜想a_n=2×3^n-1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①n=1，2時(shí)成立
②假設(shè)時(shí)n=k成立，即a_k=2×3^k-1，則a_k-1=2×3^k-2，于是整理結(jié)合歸納假設(shè)得，因?yàn)檎�整�?shù)數(shù)列{a_n}，所以a_k+1=2×3^k，即n=k+1時(shí)成立
綜上知a_n=2×3^n-1
②得③
②-③得：④
∴⑤
④-⑤式得：
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．