Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₂=4，且對于任何n∈N^*，有2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

；
（1）求a₁，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1，根據(jù)2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

可得到

2

3

＜a1＜

8

7

，再由a₁為正整數(shù)可得到a₁的值，當n=2時同樣根據(jù)2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

可得到2+

1

a3

＜6(

1

4

 +

1

a3

)＜2+

1

4

進而可得到a₃的范圍，最后根據(jù)數(shù)列{a_n}是正整數(shù)數(shù)列求出a₃的值．
（2）先根據(jù)a₁=1，a₂=4，a₃=9可猜想a_n=n²，再用數(shù)學歸納法證明．

解答：解：（1）據(jù)條件得2+

1

an+1

＜n(n+1)(

1

an

+

1

an+1

)＜2+

1

an

①
當n=1時，由2+

1

a2

＜2(

1

a1

+

1

a2

)＜2+

1

a1

，即有2+

1

4

＜

2

a1

+

2

4

＜2+

1

a1

，
解得

2

3

＜a1＜

8

7

．因為a₁為正整數(shù)，故a₁=1．
當n=2時，由2+

1

a3

＜6(

1

4

 +

1

a3

)＜2+

1

4

，解得8＜a₃＜10，所以a₃=9．
（2）由a₁=1，a₂=4，a₃=9，猜想：a_n=n²．
下面用數(shù)學歸納法證明．
①當n=1，2時，由（1）知a_n=n²均成立；
②假設(shè)n=k（k≥2）成立，則a_k=k²，則n=k+1時
由（1）得2+

1

ak+1

＜k(k+1)(

1

k2

+

1

ak+1

)＜2+

1

k2

∴

k3(k+1)

k2-k+1

＜ak+1＜

k(k2+k-1)

k-1

(k3+1-1)(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜

k[(k2+k)2-1]

k3-1

，
即

(k3+1-1)(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜

k3(k+1)2-k

k3-1

∴(k+1)2-

(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜(k+1)2+

1

k-1

因為k≥2時，（k³+1）-（k+1）²=k（k+1）（k-2）≥0，所以

(k+1)2

k3+1

∈(0，1]．
k-1≥1，所以

1

k-1

∈(0，1]．又a_k+1∈N^*，所以（k+1）²≤a_k+1≤（k+1）²．
故a_k+1=（k+1）²，即n=k+1時，a_n=n²成立．由1°，2°知，對任意n∈N^*，
a_n=n²．

點評：本題主要考查根據(jù)條件求數(shù)列的項和求數(shù)列的通項公式．先猜想數(shù)列的通項公式再由數(shù)學歸納法證明來求數(shù)列的通項公式的方法是高考的一個重要考點，要熟練掌握．